3.7.3 齒輪聯(lián)軸器剛度和阻尼的變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響
（1）齒輪聯(lián)軸器的剛度對系統(tǒng)失穩(wěn)轉(zhuǎn)速的影響
從圖3.11a可見隨橫向剛度的增大系統(tǒng)的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速幾乎沒有變化，只有在轉(zhuǎn)角剛度較大而且橫向剛度較小時，系統(tǒng)的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速才有所變化。圖3.11b表示系統(tǒng)失穩(wěn)轉(zhuǎn)速隨轉(zhuǎn)角剛度的變化，系統(tǒng)的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速隨轉(zhuǎn)角剛度變化顯著。在轉(zhuǎn)角剛度較小時，幾乎是線性增加。當(dāng)轉(zhuǎn)角剛度達到某一值時，失穩(wěn)轉(zhuǎn)速變化趨緩。進一步的計算表明，當(dāng)繼續(xù)增大轉(zhuǎn)角剛度，系統(tǒng)的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速趨于一定值。原因是當(dāng)轉(zhuǎn)角剛度增大到某值時，在齒輪嚙合處已接近于一剛性連接的結(jié)構(gòu)，如果繼續(xù)增大轉(zhuǎn)角剛度則對整體系統(tǒng)的剛度影響不大，因此系統(tǒng)的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速變化不大。對齒輪聯(lián)軸器而言，一般橫向剛度是比較大的，因此對系統(tǒng)的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速的影響可不予考慮。在轉(zhuǎn)角剛度較小時，系統(tǒng)的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速隨轉(zhuǎn)角剛度的增加而增加，所以轉(zhuǎn)角剛度對系統(tǒng)的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速影響必須予以考慮。轉(zhuǎn)角剛度與輪齒有效接觸齒寬b的平方成正比，而有效接觸齒寬b主要與聯(lián)軸器的齒形和內(nèi)外齒間的接觸情況有關(guān)，一般而言b值較少，對于修形齒和鼓形齒則更小。關(guān)于輪齒的接觸情況則比較復(fù)雜，當(dāng)不考慮輪齒的誤差時，則主要受工況的影響，不同的工況接觸情況不同，即使在同一工況下也會有所變化，因此對于具有情況應(yīng)區(qū)別對待。
（2）齒聯(lián)軸器的內(nèi)阻尼對系統(tǒng)失穩(wěn)轉(zhuǎn)速的影響
從圖3.11c可見在一定的范圍之內(nèi)，齒輪聯(lián)軸器橫向內(nèi)阻尼的變化對系統(tǒng)的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速幾乎沒有影響。由圖3.11d可知，隨齒輪聯(lián)軸器轉(zhuǎn)角內(nèi)阻尼的增加失穩(wěn)轉(zhuǎn)速減小，減少的幅度與系統(tǒng)的轉(zhuǎn)角剛度有關(guān)，轉(zhuǎn)角剛度取大值時，系統(tǒng)的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速變化甚微，而取小值時，則變化明顯。一般而言，對于確定的齒輪聯(lián)軸器類型，如果輪齒間的潤滑充分對中良好，則轉(zhuǎn)角內(nèi)阻尼變化不會太大。所以系統(tǒng)的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速也不會有明顯的變化。但當(dāng)潤滑不充分，齒輪聯(lián)軸器對中不良時，轉(zhuǎn)角內(nèi)阻尼的變化較大，從而會引起系統(tǒng)失穩(wěn)轉(zhuǎn)速生產(chǎn)較大的變化。
從以上的計算分析可以推出，在工作轉(zhuǎn)速下，由于齒輪聯(lián)軸器的剛度和內(nèi)阻尼的影響，會對系統(tǒng)的對數(shù)衰減率產(chǎn)生影響，其中尤以聯(lián)軸器的轉(zhuǎn)角剛度影響最為顯著，究其根本原因是聯(lián)軸器的轉(zhuǎn)角剛度對系統(tǒng)的負荷分配產(chǎn)生影響，從而引起軸承特性的變化進而影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對于實際的軸承—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，在輕載時，由于傳遞的扭矩較小，引起內(nèi)外齒輪之間的摩擦力和摩力矩較小，但此時內(nèi)外齒輪之間的有效接觸長度也較小，這樣聯(lián)軸器的轉(zhuǎn)角剛度變小，因此容易引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定。而在重載時，內(nèi)外齒輪之間的有效接觸長度變大，轉(zhuǎn)角剛度隨之迅速增大，此時雖然摩擦也有所增大，但就總體而言系統(tǒng)的失穩(wěn)反而有可以不易發(fā)生。
傳統(tǒng)認為齒輪聯(lián)軸器對軸承—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響主要是由于它的內(nèi)摩擦或內(nèi)阻尼特性。通過以上的分析，可以得出這樣的結(jié)論：齒輪聯(lián)軸器對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，是其動力特星的綜合反應(yīng)，并非只是其中的內(nèi)阻尼。從影響的程度來看，以轉(zhuǎn)角剛度影響最大；在一定的條件下轉(zhuǎn)角內(nèi)阻尼也會產(chǎn)生一定的影響，即作用于聯(lián)軸器上的彎矩是影響系統(tǒng)穩(wěn)定性的主要原因。橫向剛度和橫向內(nèi)阻尼對系統(tǒng)的穩(wěn)定性影響不大，即作用于聯(lián)軸器上的橫向剪切作用可以不計。
3.7.4 轉(zhuǎn)子外伸端的幾何參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響
在實際的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)設(shè)計中，外伸端的長度是一個重要的幾何參數(shù)，文獻[5]認為應(yīng)該盡量取短一些。下面仍以上述系統(tǒng)進行計算，其中取無量綱值Kl=19.78，Ka=0.128。不考慮聯(lián)軸器內(nèi)阻尼，其它參數(shù)不變。表3.6列出圖3.6所示軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)在外伸端長度增大一倍時，#1軸承和#2軸承的剛度和阻尼系數(shù)。
| |
Kxx |
Kxy |
Kyx |
Kyy |
Cxx |
Cxy |
Cyx |
Cyy |
| No.1 |
1.9007
(1.8926) |
-0.5923
(-0.5942) |
3.4990
(3.4810) |
2.7885
(2.7668) |
2.4288
(2.4244) |
1.9343
(1.9260) |
1.9343
(1.9260) |
5.7537
(5.7260) |
| No.2 |
2.4342
(2.4420) |
-0.4567
(-0.4544) |
4.7201
(4.7393) |
4.3122
(4.3377) |
2.7243
(2.7285) |
2.4851
(2.4932) |
2.4851
(2.4932) |
7.6293
(7.6589) |
*注：括號（）內(nèi)的值為L3=L5=1.67時，相應(yīng)的軸承動特性系數(shù)。
比較表3.6中的數(shù)值，增加外伸端的長度使#1軸承的油膜剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)增大，而#2軸承的油膜剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)則相應(yīng)地要減小。從理論上講，對于這類轉(zhuǎn)子系統(tǒng)（以圖3.6中齒輪聯(lián)軸器左側(cè)的軸承—轉(zhuǎn)子為例）是一典型的外伸梁結(jié)構(gòu)，如果改變外伸端的長度，將使#1軸承和#2軸承的負荷分配發(fā)生變化，進而影響軸承的動特性系數(shù)。但一般而言，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的質(zhì)量要元大于聯(lián)軸器的質(zhì)量，因此外伸端長度的改變對軸承的負荷分配影響不大，因此動特性系數(shù)的變化也不大。
表3.7是轉(zhuǎn)子外伸端的長度增加一倍時各轉(zhuǎn)速下系統(tǒng)的復(fù)特征值。從中可以看出系統(tǒng)的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速雖然減小，但減小不多。對低階特征值影響不大，但對高階特征值有一定的影響。在實際工程中，許多系統(tǒng)失穩(wěn)首先在低階發(fā)生，此時適當(dāng)改變外伸的長度不會對系統(tǒng)的穩(wěn)定性產(chǎn)生明顯影響；而當(dāng)系統(tǒng)失穩(wěn)有可能在較高階發(fā)生時，增加外伸端長度會對系統(tǒng)的穩(wěn)定性產(chǎn)生不利影響。
表3.7 L3=L5=3.33時系統(tǒng)的特征值
| 相對工作角速度Ω/ωk |
No. |
 i=u/Ω+iv/Ω |
| 1.00000 |
1
2
3
4 |
-0.13644D-01+i0.63999D+00
-0.17115D-01+i0.71224D+00
-0.19071D-01+i0.72955D+00
-0.46959D-01+i0.82386D+00 |
| 1.26317 |
1
2
3
4 |
-0.29851D-04+i0.51157D+00
-0.26953D-02+i0.52827D+00
-0.15519D-01+i0.56229D+00
-0.44809D-01+i0.64717D+00 |
| 1.26417 |
1
2
3
4 |
0.47588D-05+i0.51119D+00
-0.26361D-02+i0.52789D+00
-0.15513D-01+i0.56184D+00
-0.44790D-01+i0.64663D+00 |
一些軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)為了降低左右轉(zhuǎn)子間的耦合作用，將轉(zhuǎn)子外伸端的直徑縮小，下面對此作一簡討論。設(shè)系統(tǒng)的其它參數(shù)不變。外伸端的無量綱直徑由原來的D3=D5=1.0變?yōu)镈3=D5=0.667，即外伸端的直徑減小到原來的三分之二。計算結(jié)果分別由表3.8和表3.9給出。
#1和#2軸承剛度和阻尼系數(shù)的變化趨勢與增大外伸端的長度相同，變化幅度稍大�？s小轉(zhuǎn)子外伸端的直徑也使系統(tǒng)的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速降低，降低的幅度也不很大，但轉(zhuǎn)子直徑的減小會嚴(yán)重影響到整體系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)剛度和強度，因此在系統(tǒng)設(shè)計時應(yīng)綜合考慮各種因素的影響。
表3.8 D3=D5=0.667時軸承的動特性系數(shù)（n=3000rpm）
| |
kxx |
kxy |
kyx |
kyy |
cxx |
cxy |
cyx |
cyy |
| No.1 |
1.9582
(1.8926) |
-0.5790
(-0.5942) |
3.6262
(3.4810) |
2.9413
(2.7668) |
2.4609
(2.4244) |
1.9936
(1.9260) |
1.9936
(1.9260) |
5.9496
(5.7260) |
| No.2 |
2.3781
(2.4420) |
-0.4728
(-0.4544) |
4.5851
(4.7393) |
4.1343
(4.3377) |
2.6938
(2.7285) |
2.4271
(2.4932) |
2.4271
(2.4932) |
7.4220
(7.6589) |
注：括號（）內(nèi)的值為D3=D5=1.0時，相應(yīng)的軸承動特性系數(shù)。
表3.9 D3=D5=0.667時系統(tǒng)的特征值
| 相對工作角速度Ω/ωk |
No. |
i=u/Ω+iv/Ω |
| 1.00000 |
1
2
3
4 |
-0.15511D-01+i0.62338D+00
-0.12541D-01+i0.63177D+00
-0.17169D-01+i0.70317D+00
-0.38389D-01+i0.74726D+00 |
| 1.24220 |
1
2
3
4 |
-0.42456D-04+i0.50905D+00
-0.22512D-03+i0.51325D+00
-0.15685D-01+i0.56461D+00
-0.34419D-01+i0.59737D+00 |
| 1.24320 |
1
2
3
4 |
0.42574D-05+i0.50867D+00
-0.18903D-03+i0.51285D+00
-0.15679D-01+i0.56415D+00
-0.34404D-01+i0.59688D+00 |
3.7.5 齒輪聯(lián)軸器對系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速的影響
文獻[8]指出，在實際的大化肥透平壓縮機組振動中，由于轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速計算不準(zhǔn)確，安全裕度不足而產(chǎn)生共振的現(xiàn)象。這從一個側(cè)面反映出這類系統(tǒng)的設(shè)計和計算存在問題。
經(jīng)計算可知，聯(lián)軸器的橫向剛度、橫向阻尼和轉(zhuǎn)角阻尼對系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速的影響不大，但轉(zhuǎn)角剛度有較大的影響，在工作范圍之內(nèi)的臨界轉(zhuǎn)速見表3.10，其中包括了同步正向渦動和同步反向渦動時的臨界轉(zhuǎn)速。為便于比較，表3.10同時給出了用單軸分析法和等效軸法分析計算得到的系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速。從表中的數(shù)值來看，轉(zhuǎn)角剛度Ka對系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速的影響是比較大的�？偟膩碚f，隨轉(zhuǎn)角剛度Ka的增大，各階臨界轉(zhuǎn)速增大。Ka的取值與齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒輪間的接觸情況密切相關(guān)，在其它一些因素一定時，Ka取小值表示承載較小，而Ka取大值則表示承載較大，因此在具有齒輪聯(lián)軸器耦合的系統(tǒng)中，臨界轉(zhuǎn)速會隨工況的變化而發(fā)生變化。從表中還可以看出用單軸分析法和用等效軸法計算得的系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速值分別是二種極限情況，用這二種方法進行分析計算會產(chǎn)生不小的偏差，而且也不能反應(yīng)出工況的變化，因此在實際工程中，有可能出現(xiàn)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的工作轉(zhuǎn)速與臨界轉(zhuǎn)速之間裕度不足問題[8]。另外，實際系統(tǒng)是非常復(fù)雜的，即使同一類型的系統(tǒng)，也由于制造、安裝等會引起Ka發(fā)生一定變化，從而也會引起系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速發(fā)生變化。
在Ka=0.0和Ka=0.128二種工況下，計算了圖3.6所示系統(tǒng)，轉(zhuǎn)子外伸端幾何參數(shù)變化對系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速的影響，結(jié)果分別見表3.11和表3.12。可以看出在同一工況下，臨界轉(zhuǎn)速變化不大。
表3.10 在工作轉(zhuǎn)速范圍之內(nèi)的臨界轉(zhuǎn)速
| |
無量綱臨界轉(zhuǎn)速 |
| 單軸 |
0.6027 |
|
0.6690 |
|
| Ka=0. |
0.6030 |
0.6033 |
0.6660 |
0.6683 |
| Ka=0.008 |
0.6072 |
0.6091 |
0.6736 |
0.7034 |
| Ka=0.032 |
0.6123 |
0.6173 |
0.6877 |
0.7600 |
| Ka=0.128 |
0.6150 |
0.6450 |
0.7277 |
0.8167 |
| 等效軸法 |
0.6200 |
0.7236 |
0.8470 |
0.8590 |
表3.11 外伸端直徑變化對臨界轉(zhuǎn)速的影響（D3=D5=0.667,L3=L5=1.67)
| |
無量綱臨界轉(zhuǎn)速 |
| Ka=0. |
0.6032 |
0.6033 |
0.6659 |
0.6683 |
| Ka=0.128 |
0.6128 |
0.6301 |
0.7064 |
0.7543 |
表3.12 外伸端長度變化對臨界轉(zhuǎn)速的影響（D3=D5=1.0,L3=L5=3.33)
| |
無量綱臨界轉(zhuǎn)速 |
| Ka=0. |
0.5996 |
0.6007 |
0.6508 |
0.6611 |
| Ka=0.128 |
0.6393 |
0.6410 |
0.7156 |
0.8320 |
3.7.6 齒輪聯(lián)軸器對系統(tǒng)不平衡響應(yīng)的影響
設(shè)僅在左側(cè)圓盤處存在一質(zhì)量偏心，其中無量綱偏心距為1.1×10-4。在4個軸承處的不平衡響應(yīng)如圖3.12所示。
用單軸分析法計算不平衡響應(yīng)，在#1和#2軸承上產(chǎn)生的振幅最大，等效軸法則最小，而在#3軸承和#4軸承上產(chǎn)生的振幅則正相反。其中用單軸分析法計算不平衡響應(yīng)，在#3和#4軸承處不產(chǎn)生振動，這與實際情況不符；用等效軸法計算，則明顯夸大了二側(cè)轉(zhuǎn)子的耦合作用，沒有體現(xiàn)出齒輪聯(lián)軸器的特點。因此采用單軸分析方法和等效軸方法計算系統(tǒng)的不平衡響應(yīng)均存在不小的誤差。通過上面的計算可見，隨著轉(zhuǎn)角剛度的增大，左側(cè)轉(zhuǎn)子的不平衡量對本身轉(zhuǎn)子支承軸承所激起的響應(yīng)幅值明顯減小，對右側(cè)轉(zhuǎn)子支承軸承所激起的響應(yīng)幅值則明顯增大。
系統(tǒng)其它的參數(shù)不變，僅改變轉(zhuǎn)子外伸端的幾何參數(shù)，計算結(jié)果見圖3.13。圖中符號的意義如下：1—D3=D5=1.0，L3=L5=1.67，即懸臂端的直徑和長度均保持不變；2—D3=D5=0.667，L3=L5=1.67，即懸臂端的直徑減小，長度不變；3—D3=D5=1.0，L3=L5=3.33，即懸臂端的直徑不變，長度增大。
從上面的計算可見，在給定的條件下，轉(zhuǎn)子外伸端的幾何參數(shù)對在#1、#2軸承處的不平衡響應(yīng)影響不大；對#3、#4軸承處的不平衡響應(yīng)有影響，但量級較小，因此可以認為外伸端的幾何尺寸對系統(tǒng)的不平衡響應(yīng)影響較小。
3.8 小結(jié)
本章根據(jù)拉格朗日方程，完整地推導(dǎo)了齒輪聯(lián)軸器在對中時，軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的運動微分方程，并從理論上闡明了齒輪聯(lián)軸器的內(nèi)阻尼引起自激振動的機理。應(yīng)用上述模型對軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)進行了數(shù)值模擬，結(jié)論如下：
（1）用傳統(tǒng)的單軸分析法和等效軸法來計算系統(tǒng)的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速，結(jié)果會出現(xiàn)偏差。單軸分析法使失穩(wěn)轉(zhuǎn)速降低而偏于保守，等效軸法則偏高不安全。
（2）作用于齒輪聯(lián)軸器上的彎矩是影響系統(tǒng)穩(wěn)定性的主要原因。在對中良好并且潤滑充分時，齒輪聯(lián)軸器的橫向剛度、橫向阻尼和轉(zhuǎn)角阻尼對系統(tǒng)的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速影響不十分明顯，而轉(zhuǎn)角剛度對系統(tǒng)的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速影響較大。
（3）用單軸分析法和等效軸法計算系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速和不平衡響應(yīng)均會出現(xiàn)較大的誤差。單軸分析法忽視了齒輪聯(lián)軸器對二側(cè)轉(zhuǎn)子的耦合作用，而等效軸法則過分夸大了這種作用。
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