2.3.1 方程數(shù)值解法
采用經(jīng)典的四階Runge-Kutta法或四階的Runge-Kutta-Gill法求方程組的數(shù)值解，即可求得齒輪的扭轉(zhuǎn)振動時程響應(yīng)。為了保證求解收斂，求解過程中應(yīng)采用變步長迭代。其計(jì)算公式如下：
1.迭代初始值的選�。�
有三種方式：
（1）
=
=
=
=0，即
=
=
=
=0
這種取值方法對求瞬態(tài)應(yīng)較為有利，但計(jì)算時間較長時也可求得穩(wěn)態(tài)響應(yīng)；
（2）和的值根據(jù)額定扭矩下求得齒輪扭轉(zhuǎn)角，和=0的值取額定旋轉(zhuǎn)角速度，迭代時間很長才能求得穩(wěn)態(tài)響應(yīng)；
（3）和的值根據(jù)額定扭矩下求得齒輪扭轉(zhuǎn)角，和=0，這種方法可在較短的時間內(nèi)求得穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。
2.幅值譜計(jì)算
在求得了齒輪的時程響應(yīng)后，經(jīng)過FFT變換可求得齒輪相對振動的幅值譜。幅值譜計(jì)算公式：
3.數(shù)值算例
以直齒圓柱齒輪為例（斜齒圓柱齒輪應(yīng)把齒數(shù)Z換成當(dāng)量齒數(shù)ZV），計(jì)算齒輪齒側(cè)間隙變化對齒輪振動故障頻率成份的影響以及齒輪工作載荷及轉(zhuǎn)速的對齒輪振動故障頻率成份的影響。取零初始條件計(jì)算。
4.齒輪具體參數(shù)如下：
模數(shù) m=3mm
齒數(shù) Z1=23，Z2=45
分度圓半徑 r1=34.5mm，r2=67.5mm
基圓半徑 rb1=32.4mm，rb2=63.4mm
扭矩 T1=63.47Nm，T2=124.57Nm
重合度 ε=1.677
齒寬 b=20mm
嚙合剛度諧波項(xiàng)： K0=5.6157×108N/m，K1=1.8107×108N/m，K2=0.9558×108 N/m，
K3=0.0691×108 N/m
齒輪當(dāng)量質(zhì)量 m1=0.293kg, m2=1.216kg
阻尼系數(shù) C=3275
齒輪轉(zhuǎn)動慣量 JD1=0.000307945kgm2，JD2=0.004888484kgm2
電動機(jī)轉(zhuǎn)速 n=960rpm
齒側(cè)間隙 0～0.3mm
2.3.2 考慮齒輪齒側(cè)間隙的振動頻譜特征
軸承對箱體動態(tài)激勵力和齒輪相對振動位移X=（rb1tgθ1-rb2tgθ2）有相對振動速度
（=rb1sce2θ1
1- rb2sec2θ22）有關(guān)，文中只列出的計(jì)算結(jié)果，圖2-3～圖2-13為各種工況的齒輪故障振動分析，其中包括齒輪輪齒相對振動速度時程響應(yīng)圖、齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖和相平面圖。
(l）齒輪工作轉(zhuǎn)速一定時，齒側(cè)間隙的變化對齒輪故障振動頻率的影響：
圖2-3是工況為：齒輪嚙合頻率為5888Hz、齒側(cè)間隙b=0齒輪故障振動分析，其中（a）圖為齒輪輪齒相對振動速度時程響應(yīng)圖，(b）圖為齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖。從圖上可看出，當(dāng)齒側(cè)間隙為0時，此時振動故障頻率為齒輪嚙合頻率fmeh。的1、2、3倍。相平面圖也穩(wěn)定于一個橢園極限環(huán)（見（c）圖）。
圖2-4是工況為：齒輪嚙合頻率為5888Hz、但齒側(cè)間隙b＝0.1mm=
Sn。（齒厚）齒輪故障振動分析，其中（a）圖為齒輪輪齒相對振動速度時程響應(yīng)圖，(b）圖為齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖。從圖上可看出，當(dāng)齒側(cè)間隙增加到O.lmm時，此時振動故障頻率仍為齒輪嚙合頻率fmeh的1、2、3倍。相平面圖也穩(wěn)定于一個封閉曲線（見（c）圖）。
圖2-5是工況為：齒輪嚙合頻率仍為5888Hz、但齒側(cè)間隙增加到b=0.15mm=
Sn （齒厚）齒輪故障振動分析，其中（a）圖為齒輪輪齒相對振動速度時程響應(yīng)圖，(b）圖為齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖。從圖上可看出，當(dāng)齒側(cè)間隙繼續(xù)增加到0.15mm時，齒輪輪齒相對振動速度波形有較大的變化，此時振動故障頻率成份發(fā)生了改變，振動故障頻率為齒輪嚙合頻率fmeh的1/3、2/3、3/3、…倍。極限環(huán)經(jīng)過反復(fù)振蕩后也穩(wěn)定于一個封閉曲線（見（c）圖）。
圖2-6對應(yīng)工況為：齒輪嚙合頻率仍為5888Hz、但齒側(cè)間隙增加到b=0.20mm
Sn（齒厚）齒輪故障振動分析，其中（a）圖為齒輪輪齒相對振動速度時程響應(yīng)圖，(b）圖為齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖。從圖上可看出，當(dāng)齒側(cè)間隙為0.20mm時，齒輪輪齒相對振動速度波形也有較大的變化，振動速度幅值較前面增加了，此時振動故障頻率成份較復(fù)雜，振動故障頻率為齒輪嚙合頻率fmeh的1/6、2/6、3/6、…倍。相平面圖趨向于一混沌狀態(tài)邊緣（見（c）圖）。
圖2-7是當(dāng)齒輪嚙合頻率仍為5888Hz、但齒側(cè)間隙增加到b=0.25mm=
Sn（齒厚）時，齒輪輪齒相對振動速度時程響應(yīng)圖（（a）圖）和齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖（(b）圖）。從（b）圖上可看出，當(dāng)齒側(cè)間隙增加到0.25mm時，此時振動故障頻率成份又發(fā)生了改變，振動故障頻率為齒輪嚙合頻率fmeh的l/12、2/12、3/12、…倍。
圖2-8中，(a）圖和（b）圖分別是當(dāng)齒輪嚙合頻率仍為5888Hz、但齒側(cè)間隙增加到b=0.3Omm
Sn（齒厚）時，齒輪輪齒相對振動速度時程響應(yīng)圖和齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖。從（b）圖上可看出，當(dāng)齒側(cè)間隙為0.30mm時，此時振動故障頻率成份也發(fā)生了改變，振動故障頻率為齒輪嚙合頻率fmeh的1/5、2/5、3/5、…倍。
總之，齒側(cè)間隙的變化對齒輪故障振動頻率有很大的影響。
(2）工作轉(zhuǎn)速對齒輪振動故障頻率的影響（此時設(shè)齒側(cè)間隙b=0.2mm):
圖2-9是當(dāng)齒輪嚙合頻率為1300Hz、齒側(cè)間隙b=0.2mm時，齒輪輪齒相對振動速度時程響應(yīng)圖（(a）圖）和齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖（(b）圖）。從（b）圖上可看出，當(dāng)齒側(cè)間隙為0.2mm時，此時振動故障頻率為齒輪嚙合頻率fmeh的1、2、3倍，分?jǐn)?shù)諧波不明顯。
圖2-10中，(a）圖和（b）圖分別是當(dāng)齒輪嚙合頻率增加到4000Hz、齒側(cè)間隙增加到b=0.2mm時齒輪輪齒相對振動速度時程響應(yīng)圖和齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖。從（b）圖上可看出，此時振動故障頻率仍為齒輪嚙合頻率fmeh的1、2、3倍，分?jǐn)?shù)諧波也不明顯，但2fmeh的幅值比1fmeh的大。
圖2-11中，(a）圖和（b）圖分別是當(dāng)齒輪嚙合頻率為5000Hz、齒側(cè)間隙b=0.2mm時齒輪輪齒相對振動速度時程響應(yīng)圖和齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖。從（b）圖上可看出，此時振動故障頻率發(fā)生了改變，振動故障頻率為齒輪嚙合頻率fmeh的1/13、2/13、3/13倍，明顯出現(xiàn)分?jǐn)?shù)諧波。
(3）工作載荷幅值的變化對齒輪振動故障頻率的影響：
圖2-4（b）是輕載時（小的齒側(cè)間隙）齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖。從圖上可看出，此時振動故障頻率為齒輪嚙合頻率fmeh的1、2、3倍，無分?jǐn)?shù)諧波成份出現(xiàn)。
圖2-12是中載、齒側(cè)間隙增大時齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖。從圖上可看出，此時振動故障頻率為齒輪嚙合頻率fmeh的1/6、2/6、3/6、…倍，分?jǐn)?shù)諧波成份明顯。
圖2-13是更大的載荷（齒側(cè)間隙保持不變）時齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖。從圖上可看出，此時振動故障頻率為齒輪嚙合頻率fmeh的l/4、2/4、3/4、…倍，分?jǐn)?shù)諧波成份非常明顯�？煽闯龇蔷�性時變系統(tǒng)與線性時變系統(tǒng)和線性系統(tǒng)的齒輪振動故障頻率有很大的不同。
2.4 考慮齒輪偏心的振動頻譜特征
當(dāng)只考慮齒輪扭轉(zhuǎn)振動而不考慮齒輪及軸的橫向振動時，以往研究都沒有考慮到齒輪偏心質(zhì)量對齒輪扭轉(zhuǎn)振動的影響，實(shí)際上這個影響是存在的。不考慮齒側(cè)間隙時，Pn
取（2-2）式，代入式（2-13）可得單級齒輪系統(tǒng)帶偏心質(zhì)量的振動微分方程：
由于θ，，
前面的系數(shù)和時變剛度K(t）及θ，，有關(guān)，不是常數(shù)，故方程組（2-14)也是一個非線性時變方程組。
采用變步長R-K方法解方程組（2-20），得到齒輪相對振動位移、速度時程響應(yīng)，如對這時域信號進(jìn)行FFT變換，就可得到幅值譜。圖2-14(a）、2-14(b）分別是考慮齒輪偏心與不考慮齒輪偏心的齒輪振動位移、速度比較圖。從圖上可看出，考慮齒輪偏心與不考慮齒輪偏心在齒輪振動位移、速度的幅值上是有差別的，前者比后者在最大幅值處大5%左右；兩者在振動位移、速度的相位上無差別。圖2-15(a）、圖2-15(b）是齒輪輪齒相對振動速度時程響應(yīng)圖和齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖。從圖上可看出，此時振動故障頻率發(fā)生了改變，振動故障頻率除了齒輪嚙合頻率fmeh的1、2、3倍外，還有齒輪所在軸的軸頻。
根據(jù)前面的分析結(jié)果，我們可認(rèn)為在分析齒輪的扭轉(zhuǎn)振動故障頻率時，由于齒輪輪齒的動力藕合，必須考慮齒輪的偏心質(zhì)量的影響。
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